我们将命题转化为因式结构，给出完整数学证明：
// 定理证明形式化表达
Proof Theorem:
Let p > 3 be a prime.
Factorization: p² - 1 = (p - 1)(p + 1).
Since gcd(3, 8) = 1, it suffices to show:
(1) 8 | (p² - 1)
(2) 3 | (p² - 1)
Q.E.D.
第一步：证明能够被 8 整除
因为 \( p \) 是大于 3 的质数，所以 \( p \) 必定为奇数。令 \( p = 2k + 1 \)（\( k \in \mathbb{Z}^+ \)），则：
\( (p - 1)(p + 1) = (2k)(2k + 2) = 4k(k + 1) \)
在任意两个连续正整数 \( k \) 与 \( k + 1 \) 中，必定存在一个偶数。因此 \( k(k + 1) \) 必为 2 的倍数，故 \( 4k(k + 1) \) 必然能够被 \( 4 \times 2 = 8 \) 整除。
第二步：证明能够被 3 整除
观察三个连续整数 \( p - 1, p, p + 1 \)。在任意三个连续整数中，必然恰好有一个是 3 的倍数。因为 \( p \) 是大于 3 的质数，所以 \( p \) 不能被 3 整除。因此，只能是 \( p - 1 \) 或 \( p + 1 \) 其中之一为 3 的倍数，即 \( 3 \mid (p - 1)(p + 1) = p^2 - 1 \)。
结论：综上两步，\( p^2 - 1 \) 既是 8 的倍数，也是 3 的倍数。由于 3 与 8 互质，因此 \( p^2 - 1 \) 必然能够被 \( 3 \times 8 = 24 \) 整除。证明完毕。